দুটি অল্টারনেটিং কারেন্টের সমীকরণ $i1-14.14\sin \left(\omega t\right)$ এবং $i2=7.07\sin \left( \omega t+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ । এদের লব্ধি কারেন্টের (Resultant current) R.M.S মান কত?

দুটি অল্টারনেটিং কারেন্টের লব্ধি (Resultant) R.M.S মান নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে প্রতিটি কারেন্টের R.M.S মান এবং তাদের মধ্যকার দশা পার্থক্য (Phase difference) জানতে হবে।

দেওয়া আছে:

প্রথম কারেন্টের সমীকরণ, \(i_1 = 14.14 \sin(\omega t)\)

দ্বিতীয় কারেন্টের সমীকরণ, \(i_2 = 7.07 \sin\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)\)

একটি অল্টারনেটিং কারেন্টের সাধারণ সমীকরণ হলো \(i = I_m \sin(\omega t + \phi)\), যেখানে \(I_m\) হলো শীর্ষ মান (Peak value) এবং \(\phi\) হলো দশা কোণ (Phase angle)।

প্রথম কারেন্ট থেকে পাই:

শীর্ষ মান, \(I_{m1} = 14.14\) A

দশা কোণ, \(\phi_1 = 0^\circ\)

দ্বিতীয় কারেন্ট থেকে পাই:

শীর্ষ মান, \(I_{m2} = 7.07\) A

দশা কোণ, \(\phi_2 = \frac{\pi}{2} = 90^\circ\)

R.M.S মান (Root Mean Square value) নির্ণয়ের সূত্র হলো \(I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}\) ।

প্রথম কারেন্টের R.M.S মান:

\(I_{1,rms} = \frac{I_{m1}}{\sqrt{2}} = \frac{14.14}{1.414} = 10\) A

দ্বিতীয় কারেন্টের R.M.S মান:

\(I_{2,rms} = \frac{I_{m2}}{\sqrt{2}} = \frac{7.07}{1.414} = 5\) A

দুটি কারেন্টের মধ্যকার দশা পার্থক্য \(\theta = \phi_2 - \phi_1 = 90^\circ - 0^\circ = 90^\circ\)।

দুটি অল্টারনেটিং কারেন্টের লব্ধি R.M.S মান নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\(I_R = \sqrt{I_{1,rms}^2 + I_{2,rms}^2 + 2 I_{1,rms} I_{2,rms} \cos\theta}\)

এখানে, \(\theta = 90^\circ\) হওয়ায় \(\cos 90^\circ = 0\)।

সুতরাং, সূত্রটি দাঁড়ায়:

\(I_R = \sqrt{I_{1,rms}^2 + I_{2,rms}^2}\)

মান বসিয়ে পাই:

\(I_R = \sqrt{10^2 + 5^2}\)

\(I_R = \sqrt{100 + 25}\)

\(I_R = \sqrt{125}\)

\(I_R \approx 11.18\) A